Applicazioni cosmologiche del trasporto ottimale di massa

The present work aims to give a general yet meaningful description of how optimal transport theory was applied in the past few decades to the resolution of the Early Universe Reconstruction (EUR) problem. The main intuition we’re focusing on regards the use of the Monge-Ampère equation, the first formulation of which dates back to the 18th century, in order to develop advanced computational algorithms around it, able to efficiently reconstruct unique solutions to the EUR problem. Along with a brief historical contextualization and a minimal mathematical framing that closely follows G. Loeper’s variational formulation, the next few pages will primarily commit to the outlining of the Monge-Ampère-Kantorovich (MAK) model and the Monge-Ampère Gravitational (MAG) model. The latter, proposed by mathematician Yann Brenier, uses the least action principle and gradient flow theory to formulate a one-dimensional discrete algorithm that successfully recovers the solutions sought.

La presente tesi si pone l’obiettivo di fornire una descrizione coesa, per quanto limitata a poche pagine e agli aspetti ritenuti essenziali dell’argomento, delle applicazioni della teoria del trasporto ottimale di massa, sviluppate negli scorsi decenni, al problema della ricostruzione della dinamica dell’Universo primordiale (EUR). L’intuizione che fa da perno alla trattazione consiste nell’impiego dell’equazione di Monge-Ampère, la quale nella sua prima formulazione risale al 1781, per la costruzione di algoritmi efficaci per la computazione di soluzioni uniche del problema di Ricostruzione. Oltre ad una breve contestualizzazione di carattere storico si è ritenuto opportuno richiamare alcuni risultati strettamente matematici per i quali si fa riferimento a Gaspard Loeper. Le sezioni centrali sono dedicate ad una breve discussione del modello di Monge-Ampère-Kantorovich (MAK) e del modello gravitazionale di Monge-Ampère (MAG). Quest’ultimo, proposto dal matematico Yann Brenier, sfrutta il principio di minima azione e la teoria del flusso di gradiente con potenziali convessi per realizzare un algoritmo uni-dimensionale e discreto, atto a ricostruire le soluzioni cercate.