Rappresentazioni proiettive e anomalie di 't Hooft

The thesis investigates some aspects of dynamical symmetries in quantum mechanics. In some physical systems, it is possible to transform a continuous "global" symmetry into a "gauge" symmetry, provided that the symmetry parameter is a function of time rather than a constant, and by coupling the system to an external gauge potential. In some quantum systems, this "gauging" procedure and the corresponding coupling to an external potential can lead to breaking other continuous or discrete symmetries of the system. This phenomenon has been mainly studied in the field of quantum field theories, where it is known as the 't Hooft anomaly. The thesis aims to show, through the study of a concrete example, how 't Hooft anomalies are possible even in non-relativistic quantum mechanics, and to describe the relationship between these anomalies and the presence of projective representations of the symmetry group.

La tesi riguarda lo studio di alcuni aspetti delle simmetrie della dinamica in meccanica quantistica. In alcuni modelli fisici, è possibile trasformare una simmetria "globale" continua in una simmetria di "gauge", permettendo che il parametro di simmetria sia una funzione del tempo anziché una costante, e accoppiando il sistema ad un potenziale di gauge esterno. In alcuni sistemi quantistici, questa procedura di "gauging" e il corrispondente accoppiamento ad un potenziale esterno, può avere come conseguenza la rottura di altre simmetrie continue o discrete del sistema. Questo fenomeno è stato studiato soprattutto nell'ambito delle teorie di campo quantistiche, dove è noto come anomalia di 't Hooft. Lo scopo della tesi è mostrare, attraverso lo studio di un esempio concreto, come le anomalie di 't Hooft siano possibili anche in meccanica quantistica non relativistica, e descrivere la relazione tra tali anomalie e la presenza di rappresentazioni genuinamente proiettive del gruppo di simmetria.