Forma lineare delle equazioni di Friedmann e probabilità quasi-classica

Le equazioni di Friedmann verranno riformulate come una coppia di equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Dopo aver introdotto il tensore energia-impulso dell’universo e la metrica FLRW, si dedurranno le due equazioni di Friedmann, delle quali solo la seconda risulta lineare. Il processo di linearizzazione comincerà da una combinazione lineare delle due, contenente un termine proporzionale alla derivata Schwarziana del β-tempo, ovvero una generalizzazione del tempo conforme. Dopo alcuni passaggi, si giungerà a un’equazione differenziale del secondo ordine, le cui soluzioni permettono di ricavare il β-tempo (a meno di trasformazioni di Möbius, a causa dell'invarianza della derivata Schwarziana sotto trasformazioni di PSL(2,C)) e da questo il fattore di scala a(t). Tuttavia, l'equazione ottenuta non è, in generale, lineare, a causa del termine di curvatura k/a². Si analizzerà quindi inizialmente il caso a curvatura nulla, da cui emerge un numero infinito di coppie equivalenti di equazioni di Friedmann lineari (due per ogni valore di β), e si metterà in evidenza una simmetria interna alle equazioni di Friedmann. In seguito, si prenderà in esame il caso a curvatura arbitraria, per il quale il tempo conforme verrà selezionato in modo naturale tra tutti i possibili β-tempi. La derivata Schwarziana verrà utilizzata per assorbire il termine di curvatura tramite esponenziazione, conducendo a un’equazione lineare che, insieme alla seconda equazione di Friedmann, costituisce un sistema di equazioni lineari del tutto equivalente a quello originale. Osservando le due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione di Friedmann linearizzata, e sfruttando la relazione di proporzionalità tra il fattore di scala e il trimomento di una particella, derivata dal redshift cosmologico, si noterà una somiglianza con le soluzioni in approssimazione semiclassica WKB dell’equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione. Si ipotizzerà quindi che l’equazione di Friedmann linearizzata rappresenti l’approssimazione semiclassica di un’equazione di Friedmann quantistica, che verrà derivata al termine dell’ultimo capitolo e dalla quale si ricaverà il fattore di scala quantistico.